대수적 구조(Algebraic Structures)

좋아요! 가장 작은 개념부터 차례로 설명하겠습니다.

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**Group (그룹)**

- 그룹은 집합과 연산의 구조로, 다음 조건을 만족하는 수학적 개념입니다:

1. **닫힘성**: 그룹의 원소들끼리의 연산 결과도 그룹 안에 속함.
2. **결합 법칙**: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \).
3. **항등원**: 그룹에 항등원 \(e\)가 존재하여 \(a \cdot e = e \cdot a = a\).
4. **역원**: 각 원소 \(a\)에 대해 역원 \(a^{-1}\)이 존재하여 \(a \cdot a^{-1} = e\).

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**Abelian Group (아벨 군)**

- **아벨 군**은 그룹의 특수한 형태로, 모든 원소의 연산이 **가환성**을 만족합니다.
즉, \(a \cdot b = b \cdot a\)가 모든 \(a, b\)에 대해 성립합니다.

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**Ring (환)**

- 환은 아벨 군에서 한 단계 더 나아가 덧셈과 곱셈 두 연산을 모두 가진 구조입니다. 다음 조건을 만족합니다:

1. 덧셈에 대해 아벨 군 구조를 가짐.
2. 곱셈에 대해 결합 법칙을 만족함.
3. 곱셈이 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족함: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).

곱셈이 반드시 가환일 필요는 없습니다.

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**Commutative Ring (가환환)**

- 가환환은 환에서 곱셈이 **가환성**을 추가로 만족하는 경우를 의미합니다.
즉, 모든 \(a, b \in R\)에 대해 \(a \cdot b = b \cdot a\)입니다.

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**Integral Domain (정역)**

- 정역은 가환환의 특수한 형태로, 다음 조건을 만족해야 합니다:

1. 곱셈에 대한 **항등원** \(1\)이 존재.
2. **영인자(Zero Divisor)가 없음**: \(ab = 0\)이면 \(a = 0\) 또는 \(b = 0\).

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**Field (체)**

- 체는 정역의 확장으로, 다음 조건을 추가로 만족해야 합니다:

1. \(0\)이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대해 **역원**을 가짐.
   즉, \(a \cdot a^{-1} = 1\) (\(a \neq 0\)).

체는 덧셈과 곱셈 모두에서 가환성을 만족하는 구조입니다.

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